วันอังคารที่ 4 ตุลาคม พ.ศ. 2554

ลำดับและอนุกรม

ความหมายของลำดับ
                ฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นเซตของจำนวนเต็มบวกที่เรียงจากน้อยไปมาก โดยเริ่มตั้งแต่ 1    เรียกว่า  ลำดับ
ตัวอย่างเช่น   
ตัวอย่างที่ 1     
ตัวอย่างที่ 2    

จะเห็นได้ว่าถ้าพิจารณาจากโดเมนของลำดับแล้ว  ลำดับมี  2  ประเภท  คือ
   ประเภทแรก   ฟังก์ชันเป็นลำดับที่มีโดเมนเป็น    เรียกว่า  ลำดับจำกัด (ตัวอย่างที่ 1)
   ประเภทสอง   ฟังก์ชันเป็นลำดับที่มีโดเมนเป็น    เรียกว่า  ลำดับอนันต์ (ตัวอย่างที่ 2)

การเขียนลำดับ    เขียนได้  2  แบบ  ดังนี้
1. การเขียนลำดับแบบแจกแจงพจน์
2. การเขียนลำดับแบบพจน์ทั่วไป
1. การเขียนลำดับแบบแจกแจงพจน์
        การเขียนลำดับแบบแจกแจงพจน์จะเขียนเฉพาะสมาชิกของเรนจ์เรียงกันไป
     ถ้า  a   เป็นลำดับจำกัดจะเขียนแทนด้วย    
     ถ้า  a   เป็นลำดับอนันต์จะเขียนแทนด้วย   
     ตัวอย่างเช่น               1, 3, 6, 10, 15              เป็นลำดับจำกัด
                                    1, 3, 5, 7, 9,...             เป็นลำดับอนันต์
2.  การเขียนลำดับแบบพจน์ทั่วไป
        การเขียนลำดับแบบพจน์ทั่วไปจะต้องระบุสมาชิกในโดเมนด้วย  ถ้าไม่ได้ระบุสมาชิกในโดเมน
ให้ถือว่าลำดับนั้นเป็นลำดับอนันต์
     ตัวอย่างเช่น                     เมื่อ                    เป็นลำดับจำกัด

                                               เมื่อ   n   เป็นจำนวนเต็มบวก         เป็นลำดับอนันต์
        
                                               เป็นลำดับอนันต์         
ฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นเซตของจำนวนเต็มบวกที่เรียงจากน้อยไปมาก โดยเริ่มตั้งแต่ 1    เรียกว่า  ลำดับ
ลำดับที่เราจะทำการศึกษา มีดังนี้  
1.  ลำดับเลขคณิต
2.  ลำดับเรขาคณิต   
ลำดับเลขคณิต  คือ  ลำดับที่มีผลต่างของพจน์ที่  n+1   กับพจน์ที่ n  มีค่าคงที่เสมอ   
เรียกผลต่างนี้ว่า  ผลต่างร่วม   โดยใช้สัญลักษณ์  d  
ตัวอย่างลำดับเลขคณิต    
1.    2, 5, 8, 11,...
       จากลำดับจะเห็นว่า  พจน์ที่ 1  บวกด้วย   3   มีค่าเท่ากับพจน์ที่ 2  (2+3=5)  ,
พจน์ที่  2  บวกด้วย  3  มีค่าเท่ากับพจน์ที่  3  (5+3=8)  ,  พจน์ที่  3  บวกด้วย  3  มีค่าเท่ากับพจน์ที่  4   (8+3=11)
เป็นเช่นนี้เรื่อยๆไป      จะเห็นว่าลำดับนี้แต่ละพจน์เพิ่มขึ้นทีละ  3    ผลต่างร่วม คือ  3  นั่นเอง
2.    100, 98, 96, 94,...
        จากลำดับจะเห็นว่า  พจน์ที่ 1  ลบด้วย   2   มีค่าเท่ากับพจน์ที่ 2  (100-98=2)  ,
พจน์ที่  2  ลบด้วย  2  มีค่าเท่ากับพจน์ที่  3  (98-2=96)  ,  พจน์ที่  3  บวกด้วย  2  มีค่าเท่ากับพจน์ที่  4   (96-2=94)
เป็นเช่นนี้เรื่อยๆไป      จะเห็นว่าลำดับนี้แต่ละพจน์ลดลงทีละ  2    ผลต่างร่วม คือ  -2  นั่นเอง
 สูตรที่สำคัญ คือ
                1.    
                2.    
ลำดับเรขาคณิต คือ ลำดับที่มีอัตราส่วนร่วมระหว่างพจน์ที่  n+1  กับพจน์ที่ n  คงที่เสมอ
เรียกค่าคงที่นี้ว่า  อัตราส่วนร่วม   ใช้สัญลักษณ์  r  
ตัวอย่างของลำดับเรขาคณิต
1.    2, 4, 8, 16,...
        จากลำดับนี้จะเห็นว่า  พจน์ที่ 1  คูณด้วย  2  มีค่าเท่ากับพจน์ที่  2    ,   พจน์ที่  2  คูณด้วย  2  มีค่าเท่ากับพจน์ที่  3 ,
พจน์ที่  3  คูณด้วย  2  มีค่าเท่ากับพจน์ที่ 4  เป็นเช่นนี้เรื่อยๆไป      อัตราส่วนร่วม เท่ากับ  2
2.   81, 27, 9, 3 ,...
        จากลำดับนี้จะเห็นว่า  พจน์ที่ 1  คูณด้วย  1/3  มีค่าเท่ากับพจน์ที่  2    ,   พจน์ที่  2  คูณด้วย  1/3  มีค่าเท่ากับพจน์ที่  3 ,
พจน์ที่  3  คูณด้วย  1/3  มีค่าเท่ากับพจน์ที่ 4  เป็นเช่นนี้เรื่อยๆไป      อัตราส่วนร่วม เท่ากับ  1/3

สูตรที่สำคัญ คือ
                1.                  
                2.    
อนุกรม
        ถ้า       เป็นลำดับจำกัด   
 เราเรียกผลบวกของ     ว่า อนุกรมจำกัด
อนุกรมเลขคณิต คือ อนุกรมที่มาจากลำดับเลขคณิต
สูตร     1.                
            2.       
อนุกรมเรขาคณิต คือ อนุกรมที่มาจากลำดับเรขาคณิต
สูตร       1.         

              2.                 

ไม่มีความคิดเห็น:

แสดงความคิดเห็น